要解决这个问题，首先需要明确椭圆的一般方程和定义。给定一个椭圆 \(C\)，其标准方程可以写作 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中 \(a\) 和 \(b\) 分别是椭圆沿x轴和y轴方向的半轴长度。椭圆的上顶点 \(B\) 的坐标为 \((0, b)\)。

题目中要求的是椭圆上任一点 \(P\) 到上顶点 \(B\) 的距离 \(|PB|\) 的最大值。

对于椭圆上的任意一点 \(P(x, y)\)，它满足椭圆的方程 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)。我们需要找到 \(|PB|\) 的表达式，并确定它的最大值。

点 \(P(x, y)\) 到点 \(B(0, b)\) 的距离 \(|PB|\) 可以用距离公式计算得到：
\[|PB| = \sqrt{(x-0)^2 + (y-b)^2} = \sqrt{x^2 + (y-b)^2}\]

由于 \(P\) 点位于椭圆上，我们可以用椭圆的方程来替换 \(x^2\)：
\[x^2 = a^2\left(1 - \frac{y^2}{b^2}\right)\]

将这个表达式代入 \(|PB|\) 的公式中，我们得到：
\[|PB| = \sqrt{a^2\left(1 - \frac{y^2}{b^2}\right) + (y-b)^2}\]
\[= \sqrt{a^2 - \frac{a^2y^2}{b^2} + y^2 - 2by + b^2}\]
\[= \sqrt{a^2 + b^2 - \frac{a^2y^2 - b^2y^2}{b^2} - 2by}\]
\[= \sqrt{a^2 + b^2 - y^2\left(\frac{a^2 - b^2}{b^2}\right) - 2by}\]

为了最大化 \(|PB|\)，我们需要考虑 \(y\) 的取值范围。由于 \(P\) 在椭圆上，\(y\) 的取值范围是从 \(-b\) 到 \(b\)。但考虑到我们要找的是到上顶点的距离，我们主要关注 \(y\) 从 \(b\) 到椭圆最低点的路径，即 \(y\) 从 \(b\) 减少时的情况。

注意到当 \(y = -b\) 时（椭圆的下顶点），\(P\) 离 \(B\) 最远。此时，
\[|PB| = \sqrt{a^2 + b^2 - (-b)^2\left(\frac{a^2 - b^2}{b^2}\right) - 2b(-b)}\]
\[= \sqrt{a^2 + b^2 - (a^2 - b^2) + 2b^2}\]
\[= \sqrt{a^2 + 4b^2}\]

因此，\( |PB| \) 的最大值为 \( \sqrt{a^2 + 4b^2} \)。这是在 \(P\) 点为椭圆下顶点时 \(|PB|\) 的值，也是 \(|PB|\) 的最大可能值。