首先，根据题目中给出的椭圆方程 \(x^2/16 + y^2/4 = 1\)，我们可以识别出这是一个标准形式的椭圆方程 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中 \(a^2 = 16\) 和 \(b^2 = 4\)。因此，\(a = 4\) 和 \(b = 2\)。

对于这样的椭圆，焦点到中心（即坐标原点）的距离 \(c\) 可以通过公式 \(c = \sqrt{a^2 - b^2}\) 计算得出。将 \(a\) 和 \(b\) 的值代入得到 \(c = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)。因此，焦点 \(F_1\) 和 \(F_2\) 的坐标分别是 \((-2\sqrt{3}, 0)\) 和 \((2\sqrt{3}, 0)\)。

接下来，考虑点 \(P\) 和 \(Q\) 是关于坐标原点对称的两点。这意味着如果 \(P\) 的坐标是 \((x, y)\)，那么 \(Q\) 的坐标就是 \((-x, -y)\)。

题目要求 \(|PQ| = |F_1F_2|\)。由于 \(P\) 和 \(Q\) 关于原点对称，线段 \(PQ\) 的长度实际上等于 \(2\) 倍的 \(|OP|\)（其中 \(O\) 是坐标原点）。而 \(|F_1F_2|\) 是两焦点之间的距离，即 \(4\sqrt{3}\)（因为焦点之间的距离是 \(2c\)，即 \(2 \times 2\sqrt{3}\)）。

所以，我们有：
\[|PQ| = 2|OP| = 4\sqrt{3}\]
\[|OP| = 2\sqrt{3}\]

由于 \(P\) 在椭圆上，满足椭圆方程 \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1\)，并且 \(|OP| = 2\sqrt{3}\) 意味着 \(P\) 到原点的距离为 \(2\sqrt{3}\)。利用极坐标或直接计算，可以发现 \(P\) 必须位于椭圆的端点，即 \(x=\pm 4\) 或 \(y=\pm 2\)。但考虑到 \(|OP| = 2\sqrt{3}\)，只有当 \(P\) 的坐标满足 \(x^2 + y^2 = (2\sqrt{3})^2 = 12\) 时才成立。

因此，\(P\) 和 \(Q\) 应该位于椭圆上的特定位置，使得它们到原点的距离为 \(2\sqrt{3}\)，这对应于椭圆的某个特定部分。但根据题目的设定，我们主要关注的是 \(|PQ| = 4\sqrt{3}\) 这个条件，它直接由椭圆的性质和给定条件得出。