探讨函数f(x)=x(1-lnx)的单调性质分析 这个标题概括了我们将要讨论的内容，即分析给定函数的单调性。长度控制在30字左右。
创始人
2025-05-06 23:00:27
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为了讨论函数$f(x) = x(1 - \ln x)$的单调性，我们需要计算其一阶导数$f'(x)$，然后根据导数的符号来判断函数的增减情况。
首先，我们求出$f(x)$的一阶导数：
$$f(x) = x(1 - \ln x)$$
使用乘积法则和链式法则对$f(x)$求导：
$$f'(x) = (1 - \ln x) + x\left(-\frac{1}{x}\right)$$
简化上述表达式：
$$f'(x) = 1 - \ln x - 1$$
$$f'(x) = -\ln x$$
接下来，我们分析$f'(x)$的符号以确定$f(x)$的单调性：
- 当$x > 1$时，$\ln x > 0$，因此$f'(x) = -\ln x < 0$，这意味着$f(x)$在$(1, +\infty)$区间内是递减的。
- 当$0 < x < 1$时，$\ln x < 0$，因此$f'(x) = -\ln x > 0$，这意味着$f(x)$在$(0, 1)$区间内是递增的。
- 当$x = 1$时，$f'(x) = 0$，这是函数可能的极值点。对于这个特定的问题，我们可以进一步分析或者直接观察函数行为得知这是一个极大值点。
综上所述，函数$f(x) = x(1 - \ln x)$在$(0, 1)$区间内单调递增，在$(1, +\infty)$区间内单调递减。
首先，我们求出$f(x)$的一阶导数：
$$f(x) = x(1 - \ln x)$$
使用乘积法则和链式法则对$f(x)$求导：
$$f'(x) = (1 - \ln x) + x\left(-\frac{1}{x}\right)$$
简化上述表达式：
$$f'(x) = 1 - \ln x - 1$$
$$f'(x) = -\ln x$$
接下来，我们分析$f'(x)$的符号以确定$f(x)$的单调性：
- 当$x > 1$时，$\ln x > 0$，因此$f'(x) = -\ln x < 0$，这意味着$f(x)$在$(1, +\infty)$区间内是递减的。
- 当$0 < x < 1$时，$\ln x < 0$，因此$f'(x) = -\ln x > 0$，这意味着$f(x)$在$(0, 1)$区间内是递增的。
- 当$x = 1$时，$f'(x) = 0$，这是函数可能的极值点。对于这个特定的问题，我们可以进一步分析或者直接观察函数行为得知这是一个极大值点。
综上所述，函数$f(x) = x(1 - \ln x)$在$(0, 1)$区间内单调递增，在$(1, +\infty)$区间内单调递减。
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