探索神秘无理数：根号8的奇妙世界
创始人
2025-02-27 11:01:15
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一个大于2的无理数的例子是 (\sqrt{5})。
证明(\sqrt{5}) 是无理数的过程如下：
假设 (\sqrt{5}) 是有理数，那么它能够表示为两个整数的比，即存在互质的正整数 (p) 和 (q) 使得 (\sqrt{5} = \frac{p}{q})。
从这个等式可以推出 (5 = \frac{p^2}{q^2})，进一步得到 (p^2 = 5q^2)。这意味着 (p^2) 是5的倍数，因此 (p) 也必须是5的倍数（因为只有5的倍数的平方才是5的倍数）。设 (p = 5k)，其中 (k) 是某个整数。将 (p) 的表达式代入 (p^2 = 5q^2) 得到 (25k^2 = 5q^2)，简化后得到 (5k^2 = q^2)。这说明 (q^2) 也是5的倍数，因此 (q) 也必须是5的倍数。
然而，如果 (p) 和 (q) 都是5的倍数，那么它们就有一个公共因子5，这与我们最初的假设（(p) 和 (q) 互质）相矛盾。因此，我们的初始假设（即 (\sqrt{5}) 是有理数）不成立，所以 (\sqrt{5}) 必须是一个无理数。
由于 (\sqrt{5}) 大约等于 2.236，显然它大于2。因此，(\sqrt{5}) 是一个大于2的无理数。
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