要求解经过三点A(1, -1)，B(1, 4)，C(4, -2)的圆，我们可以利用圆的一般方程来解决这个问题。圆的一般方程是：

\[x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\]

将点A、B、C的坐标代入上述方程中，可以得到三个方程：

对于点A(1, -1)：
\[1^2 + (-1)^2 + D*1 + E*(-1) + F = 0\]
\[2 + D - E + F = 0\]
\[D - E + F = -2\] ---- 方程(1)

对于点B(1, 4)：
\[1^2 + 4^2 + D*1 + E*4 + F = 0\]
\[17 + D + 4E + F = 0\]
\[D + 4E + F = -17\] ---- 方程(2)

对于点C(4, -2)：
\[4^2 + (-2)^2 + D*4 + E*(-2) + F = 0\]
\[16 + 4 + 4D - 2E + F = 0\]
\[4D - 2E + F = -20\] ---- 方程(3)

接下来，我们解这个线性方程组来找到D、E和F的值。

从方程(1)和方程(2)中消去F，得到：
\[D - E + F - (D + 4E + F) = -2 + 17\]
\[-5E = 15\]
\[E = -3\]

将E的值代回方程(1)或(2)中求解D和F。以方程(1)为例：
\[D - (-3) + F = -2\]
\[D + F = -5\] ---- 方程(4)

再用E的值代入方程(2)：
\[D + 4*(-3) + F = -17\]
\[D + F = -5\] ---- 方程(5)

方程(4)和方程(5)实际上是相同的，这表明我们已经正确地找到了E的值，并且D和F的关系满足这个等式。由于这两个方程相同，我们实际上需要使用第三个方程来独立地确定D和F的值。因此，我们将E的值代入方程(3)：
\[4D - 2*(-3) + F = -20\]
\[4D + 6 + F = -20\]
\[4D + F = -26\] ---- 方程(6)

现在，我们有方程(4)和方程(6)：
\[D + F = -5\]
\[4D + F = -26\]

从方程(4)减去方程(6)，得到：
\[D + F - (4D + F) = -5 + 26\]
\[-3D = 21\]
\[D = -7\]

最后，将D的值代入方程(4)：
\[-7 + F = -5\]
\[F = 2\]

所以，我们得到了D、E和F的值分别为-7、-3和2。将这些值代回到圆的一般方程中，我们得到圆的方程为：

\[x^2 + y^2 - 7x - 3y + 2 = 0\]

这就是通过点A(1, -1)，B(1, 4)，C(4, -2)的圆的方程。